%
%
%	Лекции 11-12: задача быстродействия
%
%

%
% 	Лекция 11
%
\chapter{Задача быстродействия}
\section{Постановка задачи}
Преступим к изучению следующего типа задач оптимального управления --- \textit{задач быстродействия} - задач перевода системы из начального фиксированного положения в конечное, также фиксированное, положение, за минимальное время.

Пусть наша система описывается следующими условиями:
\begin{equation}\label{QT_1}
\begin{cases}
 \dot{x}(t)= A(t)x(t)+B(t)u(t)+f(t),\\
 x(t_0) = x^0,\\
 x(t_1) = x^1,\\
 u(\tau)\in \mathcal{P}(\tau)\in\conv\mathbb{R}^{ m },\\
 t_1-t_0\to\inf,
\end{cases}
\end{equation}
где $x_0,x_1,t_0$ - фиксированы, $A(t),B(t),f(t)$ --- непрерывны, а $\mathcal{P}$ непрерывно как многозначное отображение (это требование гарантирует нам, что для любого $l$ $\rho(l|\mathcal{P(\tau)})$ по $\tau$ непрерывна\footnote{В частности, при $m=1$ множество $\mathcal{P}$ выглядит как $\mathcal{P} = [a(\tau),b(\tau)]$; непрерывность многозначного отображения означает, что $a(\tau),b(\tau)$ - непрерывны.}).

Отметим, что отказ от требования $u(\tau)\in \mathcal{P}(\tau)\in\conv\mathbb{R}^{ m }$ возможен; в этом случае $\overline{\soa_{\mathcal{P}}[t_1]}=\soa_{\overline{\mathcal{P}}}[t_1]$. Разумность такого отказа показывает следующий
\ex{
Пусть уравнения \eqref{QT_1} имеют вид
$$
\begin{cases}
 \dot{x} = u,\\ 
  x(0) = 0,\\
  u(\tau) \in [-1,1].
\end{cases}
$$
Тогда множеством достижимости $\soa_1$ будет бесконечный треугольник в I и IV координатных четвертях, лежащий внутри прямых $x=t$ и $x=-t$. При этом геометрически ясно, что при замена множества допустимых управлений с отрезка $[-1,1]$ на двухточечное множество $\{-1,1\}$ не изменит множества достижимости: любую точку, лежащую внутри $\soa_1$, можно соединить с началом координат ломанной, содержащей звенья, параллельные прямым $x=t$ и $x=-t$.

Именно этот прием используется при управлении парусными судами при отсутствии попутного ветра (при этом говорят, что судно \emph{идет галсом}).
}

Введём множество достижимости 
$$
\soa[t_1] = \soa(t_1,t_0,x^0) = \{x = x(t_1,t_0,x^0 | u(\cdot)),\ u(\tau)\in\mathcal{P}\}.
$$
Введём также \emph{трубку достижимости} как\footnote{Следует понимать, что множество достижимости --- это множество, а трубка достижимости --- это функция, отображающее время на соответствующее множество достижимости.} $\soa[\cdot]$. Её графиком будем называть множество $\soa[\cdot] =\{(t,x):\ x\in\soa[t]\}$.

Ключевую роль играет следующее очевидное
{\stm{Если $t_1^*-t_0$ --- время оптимального взаимодействия, $x^*$,$u^*$ --- соответственно траектория и управления, отвечающие этому времени, то $(t_1^*,x^*(t_1^*))\in\partial\soa[\cdot]$.}}
\begin{proof}
 Достаточно заметить, что если $(t_1^*,x^*(t_1^*))\notin\partial\soa[\cdot]$, то достаточно сместится назад во времени к некоему моменту $t_2^*$, такому, что $(t_2^*,x^*(t_1^*))\in\partial\soa[\cdot]$ (такая точка существует в силу выпуклости и непрерывности); это приводит к противоречию с тем, что $t_1^*-t_0$ - время оптимального взаимодействия.
\end{proof}

Следующий пример показывает, что в криволинейных координатах это утверждение, вообще говоря, неверно.

\ex{
Пусть уравнения \eqref{QT_1} записаны в полярных координатах и имеют вид
$$
\begin{cases}
\dot{\rho} = u_1,\ |u_1|\leqslant1,\\
\dot{\varphi} = u_2,\ |u_2|\leqslant1,\\
\rho(0) = \rho^0 > 0,\\
\phi(0) =\phi^0.
\end{cases}
$$
Если бы это были декартовы координаты на плоскости, то трубкой достижимости был бы \glqqqраспухающий квадрат\grqqq $\soa[t_1] = \{|x-x^0| \leqslant t_1,\ |y-y^0| \leqslant t_2\}$. В нашем же случае это будет \glqqqраспухающий кольцевой сектор\grqqq, и множество достижимости не будет выпуклым. Это приведет к тому, что если финальная точка будет отвечать углу в $\pi$, то $(t^*,x^*(t^*))\notin\partial\soa[t_1^*]$.
}

Введём функцию $\varepsilon[t_1] = d(x^1,\soa[t_1])$. Тогда очевидно
{\stm{$t_1^*-t_0$ - время оптимального взаимодействия $\Leftrightarrow$ $t_1^*$ --- наименьший корень уравнения $\varepsilon[t_1]=0,\ t_1 \geqslant t_0.$}}

При этом стоит иметь ввиду, что если некое множество $Z$ --- компакт, то $x\in Z\ \Leftrightarrow\ d(x,Z)=0.$
\section{Свойства множества достижимости}
{\stm{
$\soa[t_1]\in\conv\mathbb{R}^{n}.$
}}
\begin{proof}
 \begin{enumerate}
  \item Докажем выпуклость. Пусть $\hat{x}_1,\ \hat{x}_2\ \in\soa[t_1]$, $u^1,u^2$ --- отвечающие им управления, $u^1,u^2\in\mathcal{P}$; тогда для $j=1,2$ по формуле Коши имеем
\begin{equation}\label{QT_2}
\hat{x}_j = X(t_1,t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^{t_1}X(t_1,\tau)[B(\tau)u^j(\tau)+f(\tau)]d\tau
\end{equation}
Пусть $\hat{x} = \lambda \hat x^1 + (1-\lambda)\hat{x}^2,\ u(\tau)=\lambda u^1(\tau)+ (1-\lambda)u^2(\tau)$. Домножая первое соотношение в \eqref{QT_2} на $\lambda$, а второе --- на $1-\lambda$, и, складывая, получаем, что траектории $\hat{x}$ отвечает управление $u(\tau)\in\mathcal{P(\tau)}$ (ибо $\mathcal{P}(\tau)$ --- выпукло), что и означает выпуклость $\soa[t_1]$.
  \item Докажем ограниченность. Покажем, что существует такое $c>0$, что $\mathcal{P}(\tau)\subseteq c\cdot B_1(0)$. Так как $\rho(l|\mathcal{P}(\tau))$ непрерывно по $\tau$, то возьмём $c = \max\limits_{||l||=1,\tau\in[t_0,t_1]}\rho(l|\mathcal{P}(\tau))$. Тогда для любых $l$ и любых $\tau\in[t_0,t_1]$ в силу положительной однородности опорной функции $\rho(l|\mathcal{P}(\tau)) \leqslant c\norm{l}$. Тогда в формуле Коши
$$
\hat{x} = X(t_1,t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^{t_1}X(t_1,\tau)[B(\tau)u(\tau)+f(\tau)]d\tau
$$
все компоненты в правой части ограничены, что даёт ограниченность и левой части.
  \item Докажем замкнутость. Пусть $\hat{x}^j\to\hat{x} $. Надо доказать, что $\hat{x}\in\soa[t_1]$.
 Пусть траекториям $\hat{x}^j$ отвечают управления $u^j(\tau)\in \mathcal{P}(\tau)$. Без ограничения общности считаем, что\footnote{Т.\,е., возможно, переходя к подпоследовательностям.} $u^j\xrightarrow[j\rightarrow\infty]{\text{слабо в } L_2}u$. 

Докажем, что $u(\tau)\in\mathcal{P}(\tau)$ для почти всех $\tau$. Для произвольных $l(\tau)\in L_2$ и почти всех $\tau$ верно соотношение\footnote{Напоминаем, что если $A\subseteq B$, то $\rho(l|A) \leqslant \rho(l|B)$ для любого $l$.}:
$$
\scalar{l(\tau)}{u^j(\tau)}\leqslant\rho(l(\tau)\ |\ \mathcal{P}(\tau)).
$$ 
Проинтегрируем это соотношение от $t_0$ до $t_1$:
$$
\int\limits_{t_0}^{t_1}\scalar{l(\tau)}{u^j(\tau)}\ d\tau \leqslant \int\limits_{t_0}^{t_1}\rho(l(\tau)\ |\ \mathcal{P}(\tau))\ d\tau.
$$ 
Учитывая, что $u^j\xrightarrow[j\rightarrow\infty]{\text{слабо в } L_2}u$, получаем:
\begin{equation}\label{QT_3}
\int\limits_{t_0}^{t_1}\scalar{l(\tau)}{u(\tau)}\ d\tau \leqslant \int\limits_{t_0}^{t_1}\rho(l(\tau)\ |\ \mathcal{P}(\tau))\ d\tau.
\end{equation} 
Итак, предположим противное. Пусть существует подмножество $Z\subseteq[t_0,t_1]$ ненулевой меры, где $u(\tau) \notin \mathcal{P}(\tau)$. Тогда найдутся такие $l(\tau),\ \varepsilon >0$ , что 
$$
\scalar{l(\tau)}{u(\tau)} > \rho(l(\tau)\ |\ \mathcal{P}(\tau)) + \varepsilon.
$$ 
Заменим значения $u(\tau)$ вне $Z$ на ноль; тогда 
\begin{equation*}
\int\limits_{t_0}^{t_1}\scalar{l(\tau)}{u(\tau)}\ d\tau \geqslant \int\limits_{t_0}^{t_1}\rho(l(\tau)\ |\ \mathcal{P}(\tau))\ d\tau - \varepsilon\mu{Z},
\end{equation*} 
что противоречит \eqref{QT_3}. Значит, $u(\tau)\in\mathcal{P}(\tau)$. 

Запишем формулу Коши:
$$
\hat{x}^j = X(t_1,t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^{t_1}X(t_1,\tau)[B(\tau)u^j(\tau) +f(\tau)]d\tau. 
$$
Устремляя $j\to\infty$, получаем: 
$$
\hat{x} = X(t_1,t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^{t_1}X(t_1,\tau)[B(\tau)u(\tau) +f(\tau)]d\tau. 
$$
И, так как $u(\tau)\in\mathcal{P}(\tau)$, то $\hat{x}\in\soa[t_1]$, что и означает замкнутость $\soa[t_1]$.
 \end{enumerate}
\end{proof}
Найдем опорную функцию множества достижимости:
\begin{multline}\label{QT_4}
\rho(l\ |\ \soa[t_1]) = \sup\limits_{u(\cdot)}\left[\scalar{l}{X(t_1,t_0)} + \int\limits_{t_0}^{t_1}\scalar{B^T(\tau)X^T(t_1,\tau)l}{u(\tau)}\ d\tau +  \int\limits_{t_0}^{t_1}\scalar{l}{X(t_1,\tau)f(\tau)}\ d\tau\right] = \\
\scalar{l}{X(t_1,t_0)} +  \int\limits_{t_0}^{t_1}\scalar{l}{X(t_1,\tau)f(\tau)}\ d\tau + \sup\limits_{u(\cdot)}\left[\int\limits_{t_0}^{t_1}\scalar{B^T(\tau)X^T(t_1,\tau)l}{u(\tau)}\ d\tau\right].
\end{multline}
Обозначим для краткости $s(\tau) = B^T(\tau)X^T(t_1,\tau)l$. Для дальнейшего продвижения нам потребуется следующая
\begin{lemma}
$\sup\limits_{u(\cdot)}\left[\int\limits_{t_0}^{t_1}\scalar{s(\tau)}{u(\tau)}\ d\tau\right] =\int\limits_{t_0}^{t_1}
\sup\limits_{u\in\mathcal{P}}\scalar{s(\tau)}{u}\ d\tau.
$
\end{lemma}
\begin{proof}
Так как $s(\tau)$ --- непрерывная функция, то $\sup\limits_{u\in\mathcal{P}(\tau)}\scalar{s(\tau)}{u} = \rho(s(\tau)\ |\ \mathcal{P}(t))$ непрерывно по $\tau$, и, следовательно, интегрируема.

Рассмотрим $\Argmax\limits_{u(\cdot)\in\mathcal{P}(\tau)}\scalar{s(\tau)}{u} = \mathcal{P}^*(\tau)$. Проверим, что это многозначное отображение является измеримым. Для этого докажем его полунепрерывность сверху\footnote{Ибо, как известно, полунепрерывность есть достаточное условие измеримости.}. Так как полунепрерывность сверху равносильна замкнутости графика $\mathcal{P}^*(\tau)$, то нам надо показать, что из $\tau^j\to\tau,\ u^j\to u, \ u^j\in\mathcal{P}^*(\tau^j)$ следует, что $u\in\mathcal{P}^*(\tau)$. Это равносильно соотношениям
$$
\scalar{s(\tau^j)}{u^j} = \rho(s(\tau^j)\ |\ \mathcal{P}(\tau^j)),
$$
$$
\scalar{l}{u^j} \leqslant \rho(l\ |\ \mathcal{P}^*(\tau^j)),
$$
для любого $l$. Тогда 
$$
\scalar{s(\tau)}{u} = \rho(s(\tau)\ |\ \mathcal{P}(\tau)),
$$
$$
\scalar{l}{u} \leqslant \rho(l\ |\ \mathcal{P}^*(\tau)),
$$
что верно, и, стало быть, $u\in\mathcal{P}^*(\tau)$, что и дает нам замкнутость графика, и, следовательно, измеримость. 

Воспользуемся \textit{леммой об измеримом селекторе} из курса многозначного анализа: \textit{если многозначное отображение $\mathcal{P}^*$ измеримо, то существует такая измеримая функция (селектор) $u^*(\cdot)$, что $u^*(\tau)\in\mathcal{P}^*(\tau)$ для почти всех $\tau$.} 

Для этого селектора $\scalar{s(\tau)}{u^*(\tau)} = \rho(s(\tau)\ |\ \mathcal{P}(\tau))$, интегралы в условии леммы существуют, что влечет достижение точной верхней грани на $u(\tau)\in\mathcal{P}^*(\tau)$, что и требовалось доказать.
\end{proof}

Таким образом, мы можем выписать окончательный вид опорной функции:
$$
\rho(l\ |\ \soa[t_1]) = \scalar{l}{X(t_1,t_0)} +  \int\limits_{t_0}^{t_1}\scalar{l}{X(t_1,\tau)f(\tau)}\ d\tau +  \int\limits_{t_0}^{t_1}\rho(B^T(\tau)X^T(t_1,\tau)l\ |\ \mathcal{P}(\tau))\ d\tau.
$$
%
%	Лекция 12
%

Итак, оптимальное управление доставляет максимум выражению 
$$\max\limits_{u\in\mathcal{P}(\tau)}\scalar{B^T(\tau)X^T(t_1,\tau)l}{u}.$$
Обозначая $\psi(\tau) = X^T(t_1,\tau)l$, получим из \eqref{QT_4}:
$$
\rho(l\ |\ \soa[t_1]) = \scalar{l}{\psi(t_0),x_0)} +  \int\limits_{t_0}^{t_1}\scalar{\psi(\tau)}{f(\tau)}\ d\tau + \int\limits_{t_0}^{t_1}\rho(B^T(\tau)\psi(\tau)|\ \mathcal{P}(\tau))\ d\tau.
$$
При этом $\psi(\tau)$ называют \textit{сопряженной переменной}. Из определения фундаментальной матрицы ясно, что $\psi(\tau)$ удовлетворяет следующим соотношениям:
$$
\begin{cases}
 \dot{\psi} = - A^T(\tau)\psi,\\
 \psi(t_1) = l.
\end{cases}
$$
\section{Условие максимума}
Перейдем теперь непосредственно к решению задачи быстродействия.  Выпишем в терминах опорных функций условие $x^1\in\soa[t_1]$:
$$
\scalar{l}{x^1}\leqslant\rho(l\ |\ \soa[t_1])
$$
для любого $l$, или, в терминах расстояний до множества, $d(x^1,\soa[t_1])=\varepsilon[t_1]=0$. Фиксируем произвольной число $\hat{\varepsilon}$. Тогда верна следующая цепочка равносильных переходов:
$$
d(x^1,\soa[t_1])\leqslant\hat{\varepsilon}\Leftrightarrow x^1\in\soa[t_1]+\hat{\varepsilon}B_1(0)\Leftrightarrow\scalar{l}{x^1}\leqslant\rho(l\ |\ \soa[t_1]) + \hat{\varepsilon}\norm{l}.
$$
В силу положительной однородности левой и правой части по $l$, последнее соотношение можно нормировать и записать в виде
$$
\sup\limits_{\norm{l}=1}\left(\scalar{l}{x^1} - \rho(l\ |\ \soa[t_1])\right) \leqslant\hat\varepsilon,
$$
откуда следует, что $\varepsilon[t_1] = 
\sup\limits_{\norm{l}=1}\left(\scalar{l}{x^1} - \rho(l\ |\ \soa[t_1])\right)$. Таким образом, отсюда время быстродействия $t_1^*$ находится как наименьшей корень уравнения $\varepsilon[t_1^*]=0$. 

Возьмём вектор $l^0\in\Argmax\limits_{\norm{l}=1}\left(\scalar{l}{x^1} - \rho(l\ |\ \soa[t_1])\right)$. Тогда $\scalar{l^0}{x^1} = \rho(l^0\ |\ \soa[t_1^*])$, что означает, что $x^1$ лежит на пересечении опорной гиперплоскости и самого множества. Отсюда $u^*(\tau) = u^{l_0}(\tau)$. Таким образом, мы можем записать необходимое условие максимума:

\textit{Если $u^*$ есть управление, доставляющее оптимальное управление, то}
\begin{equation}\label{QT_PMP}
\scalar{B^T(\tau)\psi(\tau)}{u^*(\tau)} = \max\limits_{u\in\mathcal{P}(\tau)}\scalar{B^T(\tau)\psi(\tau)}{u}.
\end{equation}
Естественно встает вопрос: является ли это условие достаточным? Оказывается, что нет --- следующий пример показывает, что условию максимума может удовлетворять вообще любое допустимое управление!
\begin{ex}
 Рассмотрим следующую задачу быстродействия:
\begin{equation*}
 \begin{cases}
  \dot{x}_1 = u-1,\\
  \dot{x}_2 = u+1, \\
x^0 = [0,0]^T,\\
x^1= [-1,1]^T,\\
|u(t)| \leqslant 1.
 \end{cases}
\end{equation*}
В этой задаче, $\mathcal{P}(t) \equiv \mathcal{P} = [-1,1].$ Найдем опорную функцию для этой задачи:
$$
\rho(l\ |\ \soa[t_1]) = \int\limits_{0}^{t_1}\scalar{l}{[-1,1]^T} + \int\limits_{0}^{t_1}\rho([1, 1]^Tl\ |\ \mathcal{P(\tau)})\ d\tau = t_1(l_2-l_1) + t_1|l_1 + l_2|.
$$
Легко видеть, что это сумма опорных функций одноточечного множества и отрезка. C геометрической точки зрения, множество достижимости есть отрезок, соединяющий на плоскости точки $[-1,-1]^T$ и $[1,1]^T$, который \glqqqползает\grqqq по плоскости. Очевидно, что для быстрейшего достижения точки $[-1,1]^T$ надо \glqqqползти\grqqq вверх по прямой $y = -x$. Тогда в момент $t^*=1$ мы достигнем финальной точки.

Однако для нахождения оптимального управления нам (формально) надо было бы найти вектор-максимизатор $l_0$. На эту роль подходят вектора $\frac{1}{\sqrt{2}}[-1,1]^T$ и $\frac{1}{\sqrt{2}}[1,-1]^T$. Выпишем условие максимума:
$$
\scalar{B^Tl^0}{u^*} = \max\limits_{u\in\mathcal{P}}\scalar{B^Tl^0}{u},
$$
которое в нашем случае принимает вид $0=0$.
\end{ex}

Хотя приведенный пример показывает редкую для линейных систем ситуацию, стоит поставить вопрос о условиях, позволяющих использовать условие максимума как необходимое и достаточное условие.
\subsection{Условие нормальности (общности положения)}
Рассмотрим частный случай задачи \eqref{QT_1}: пусть $A,B$ --- $\const$, а $\mathcal{P}$ --- выпуклый многогранник с непустой внутренностью, построенный на точках $u^1,u_2,\ldots,u_M$, причем\footnote{Т.\,е. все $u_j$ \glqqqсущественно\grqqq влияют на вид многогранника.}  $u_j\in\partial\mathcal{P},\ j=\overline{1,M}$. Пусть $w=w^{k,l} = u^k-u^l$, где $k,l$ соединены ребром. Потребуем, что бы выполнялось \textit{условие нормальности} (или \textit{условие общности положения}):
\begin{equation*}
 \text{\textit{Вектора} }Bw,ABw,\ldots,A^{n-1}Bw\ \text{\textit{линейно независимы.}}
\end{equation*}
Отметим, что если $\mathcal{P}$ имеет вид \glqqqпараллелепипеда\grqqq, $\mathcal{P} = \set{u\in\real^m}{a_i \leqslant u_i\leqslant b_i,\  i =\overline{1,m}}$, а матрица $B$ состоит из столбцов $b^1,b^2,\ldots,b^m$, то условие нормальности требует линейной независимости векторов $b^i,Ab^i,\ldots,A^{n-1}b^i$ для всех $i$, что представляет собой в точности условие полной управляемости.

Роль этого условия раскрывает следующая
\begin{theorem}
Если выполняется условие нормальности, то условию максимума удовлетворяет единственно управление.
\end{theorem}
\begin{proof}
 Покажем, что при $l^0 \neq 0$ существует и при том единственное $u^*(\cdot)$, удовлетворяющее \eqref{QT_PMP}. Предположим противное, пусть $\hat{u}^1,\hat{u}^2$ удовлетворяют \eqref{QT_PMP}, и на множестве положительной меры $\hat{u}^1\neq\hat{u}^2$. Так как $\max\limits_{u\in\mathcal{P}}\scalar{B^T\psi(\tau)}{u} = \rho(B^T\psi(\tau)\ |\ \mathcal{P})$, то   $\scalar{B^T\psi(\tau)}{\hat{u}^1-\hat{u}^2} = 0$ для почти всякого $\tau$. Это можно переписать в виде $$\scalar{B^Te^{-A^T(\tau-t_1)}l^0}{w}=0,$$ что равносильно условию $l^{0T}e^{A(t_1-\tau)}Bw=0$ на некотором множестве положительной меры. Дифференцируя это тождество, получаем
$$l^{0T}e^{A(t_1-\tau)}Bw=0,$$
$$-l^{0T}e^{A(t_1-\tau)}ABw=0,$$
$$\ldots\ldots$$
$$(-1)^{n-1}l^{0T}e^{A(t_1-\tau)}A^{n-1}Bw=0.$$
Но, ибо $l^0\neq0$, получаем противоречие с условием нормальности.

Покажем теперь, что, если управление $u$ удовлетворяет \eqref{QT_PMP}, то $u\in\mathcal{P}$ почти всюду. Предположим противное: пусть существует интервал времени, на котором $B^T\psi(\tau)$ ортогонален ребру; но это невозможно: дифференцируя, как в первой части доказательства, соотношение $\scalar{B^T\psi(\tau)}{w} =0$, мы получим противоречие с условием нормальности. Что и требовалось доказать.
\end{proof}
\begin{note}
 На самом деле, мы доказали, что условие нормальности гарантирует строгую выпуклость множества достижимости.
\end{note}
\begin{ex}
 Рассмотрим задачу
$$
\begin{cases}
 \dot{x}_1 = u_1,\ |u_1|\leqslant 1,\\
 \dot{x}_2 = u_2,\ |u_2|\leqslant1.
\end{cases}
$$
Эта система вполне управляема, но не сильно вполне управляема. Множество достижимости в данном случае --- квадрат (т.\,е. не строго выпуклое). Случай, в котором условие максимума выделяет единственное управление, бывает тогда, когда финальная точка оказывается на углу квадрата (проверьте!).
\end{ex}
\subsection{Условие управляемости при выпуклости множества $\mathcal{P}$}
\begin{theorem}
 Пусть $\mathcal{P}$ строго выпукло и имеет непустую внутренность, и выполнено условие полной управляемости,
$$\rg[B |AB|\cdots|A^{n-1}B]=n.$$ 
Тогда условие максимума определяет оптимальное управление единственным образом.
\end{theorem}
\begin{proof}
Максимум, очевидно, достигается в единственной точки в силу строгой выпуклости; осталось показать, что он ненулевой, т.\,е. что $B^T\psi(\tau) \neq 0$ на любом интервале. Предположим противное, пусть $B^T\psi(t) \equiv 0$ для любого\footnote{В силу аналитичности.} $t$. Дифференцируя это тождество и полагая $t=t_1$, получим противоречие с условием полной управляемости.
\end{proof}
